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Combinaison de variables aléatoires

par Vercoquin, le 28/11/2018 à 16:38 - 153 visites

Bonjour le parfait guichet du savoir,

Les lois de probabilités permettent de connaître la répartition d'une grandeur.
Si je sais que la taille des hommes français suit une loi normale, avec une certaine moyenne et un certain écart-type, je peux avoir une idée de la distribution de la taille des hommes.

Mais comment faire quand plusieurs variables aléatoires se 'télescopent' ?

Si, pour un grand nombre de sujets, je dois calculer x multiplié par y et divisé par z (ou toute autre formule), si chaque variable x, y, z suit sa propre loi de probabilité, comment estimer la distribution globale du résultat ?

Existe-t-il une espèce d'arithmétique pour estimer laa distribution d'une combinaison de grandeurs aléatoires ? Si oui, que faut-il lire pour entrevoir ça ?

Merci d'avance.

Réponse du Guichet du savoir

par gds_alc, le 05/12/2018 à 09:04

Bonjour,

Nous avions sollicité un chercheur en mathématiques de l'Université de Bordeaux - que nous tenons à remercier - et vous transmettons sa réponse :

" En général, ce n'est pas possible à partir seulement des fonction de répartitions sans donnée supplémentaire. Donnons un exemple:

Soit un groupe de 3 personnes. Nous demandons à une personne de les peser et à une autre de les mesurer anonymement. Ils nous disent:
1/3 pesent 50kg, 1/3 75kg et 1/3 100kg
1/3 mesurent 150cm, 1/3 175cm et 1/3 200cm

Si nous voulons calculer l'indice de masse corporel (masse/taille^2), nous avons six appariements taille/poids possibles qui donneront des valeurs différentes:

Personne A Personne B Personne C IMC: fréquence moyenne
50kg-150cm, 75kg-175cm, 100kg-200cm, IMC: 1/3: 0.22222 1/3: 0.24490 1/3: 0.25000 moy: 0.23904 50kg-150cm, 75kg-200cm, 100kg-175cm, IMC: 1/3: 0.22222 1/3: 0.18750 1/3: 0.32653 moy: 0.24542 50kg-175cm, 75kg-150cm, 100kg-200cm, IMC: 1/3: 0.16327 1/3: 0.33333 1/3: 0.25000 moy: 0.24887 50kg-175cm, 75kg-200cm, 100kg-150cm, IMC: 1/3: 0.16327 1/3: 0.18750 1/3: 0.44444 moy: 0.26507 50kg-200cm, 75kg-150cm, 100kg-175cm, IMC: 1/3: 0.12500 1/3: 0.33333 1/3: 0.32653 moy: 0.26162 50kg-200cm, 75kg-175cm, 100kg-150cm, IMC: 1/3: 0.12500 1/3: 0.24490 1/3: 0.44444 moy: 0.27145

Il n'y a donc pas de moyen d'obtenir de trouver la fonction de répartition correcte ou même seulement l'espérance seulement à partir des statistiques séparées.

Par contre si nous voulons calculer l'espérance de la variable 'poids + taille', c'est facile car elle ne dépend pas de l'appariement taille/poids (mais sa répartition en dépend).

Pour résoudre cette difficulté les statisticiens ont défini la
covariance: Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)E(Y)
(voir wikipedia

en particulier, les variables sont indépendantes, alors Cov(X,Y) = 0 et donc E(XY)=E(X)E(Y).
(voir wikipedia

Malheureusement il est très rare que deux variables soient vraiment indépendantes. C'est un erreur fréquente en statistique de suppose que deux variables sont indépendante alors qu'elles ne le sont pas.

Par exemple si le poids et '1/taille^2' étaient indépendantes, nous trouverions un IMC moyen de 24.490, ce qui n'est pas le cas quelque soit l'appariement réel".

Notre conclusion : bon courage !!
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