Question d'origine :
Nous sommes deux Lycéens et nous effectuons des recherches sur le Saros ( outil de calcul de la période des éclipses ) et nous aimerions obtenir de plus amples informations sur ce sujet.
En effet nous avons trouvé que par développement de fractions continues , le Saros est d'une durée de 242 révolutions draconitiques ou encore 223 lunaisons ( soit 18 ans et 11 jours : résultats trouvés sur pas mal de site web )
Notre question est : Pourquoi les anciens et les chercheurs s'arretent ils à ces deux chiffres alors qu'il est possible de continuer les calculs ou de les arreter avant ?
En vous remerciant à l'avance de votre réponse !
Réponse du Guichet
bml_sci
- Département : Sciences et Techniques
Le 10/01/2006 à 16h34
En tout premier lieu, voici un définition assez précise du saros.
Source : Le manuel des éclipses
Intéressons-nous maintenant à la manière de déterminer cette période de récurrence des éclipses luni-solaires.
Les éclipses de Soleil et de Lune se produisent lorsque les syzygies (la conjonction et l'opposition de la Lune) ont lieu avec le soleil apparent au voisinage de la direction de la ligne des nœuds de l'orbite lunaire. Le retour d'une même phase lunaire est lié à la révolution synodique « L » (29,5305888532 jours) de la Lune. Le retour du Soleil dans la direction de la ligne des nœuds au moment des syzygies est équivalent au retour de la Lune près de ses nœuds, ce retour est lié à la révolution draconitique « G » (27,212220817 jours) de la Lune.
Les valeurs possibles pour x et y se calculent en utilisant la méthode de décomposition des réels en fractions continues.
La décomposition d'un réel en fractions continues a été créée par Laplace en 1768. son but était d'obtenir une approximation d'un réel positif r sous la forme d'un quotient de deux entiers. La méthode consiste à décomposer le réel en partie entière et en partie décimale : r = a0 + u1, u1 étant inférieur à 1, on prend son inverse et on continue comme précédemment en itérant avec les restes successifs :
1/u1 = a1 + u2
1/un = an + un+1 [Lire u indice n, a indice n, u indice n+1]
En remplaçant les ui [u indice i] par leurs expressions, le réel se présente sous la forme de fractions emboîtées qui forme la fraction continue :
Cette méthode donne pour le calcul du saros :
Le rapport L/G est égal à 1,085195841, il s'écrit sous forme réduite : (1;11,1,2,1,4,3,5,1). Ce qui donne pour x et y les solutions suivantes :
Connaissant ce rapport, il faut y ajouter un troisième paramètre, celui de
Voici pourquoi : [I]La principale inégalité dans la longitude de la Lune, l'équation du centre, est fonction de sa distance angulaire au périgée de son orbite, cette distance angulaire porte le nom d'anomalie. L'intervalle de temps qui sépare en moyenne le passage de la Lune par la direction de son périgée, s'appelle
Il est très important de constater que le saros est également un multiple de cette révolution anomalistique, ainsi après un saros, non seulement on retrouve la même configuration Soleil Terre Lune mais la plus grosse inégalité dans la longitude de la Lune a presque la même valeur, donc on retrouve pratiquement le même écart entre la Lune vraie et la Lune moyenne. C'est principalement pour cette raison que le saros est une période de récurrence des éclipses. En effet le saros est construit à partir des révolutions synodique et draconitique moyennes de la Lune. Or l'écart entre la révolution synodique vraie et la révolution synodique moyenne de la Lune peut atteindre plus ou moins sept heures, or en sept heures la position de la Lune varie en moyenne de 3,5° en longitude (si l'on tient compte des perturbations cet écart peut atteindre 7,5°). Or comme les diamètres apparents de la Lune et du Soleil sont de l'ordre du demi-degré, il est totalement impossible de prédire une éclipse du Soleil uniquement avec la connaissance de la révolution synodique moyenne, seule la connaissance de la lunaison vraie permet cette prédiction.
On a 239 A = 6585,537419 jours et 1 saros = 239 A - 0,0079 A,
Après ce bref aperçu de ce qu'est la révolution anomalistique, il faut donc pour qu'il y ait récurrence du phénomène, trouver un multiple aux trois périodes.
- On doit donc trouver trois nombres x, y et z tels que x.L ~ y.G ~ z.A. Le tableau suivant donne une série de solutions :
jours..........x.............y...........z...........Durée (ans)
................223.........242........239.........18,03
6585+.....0,321......0,357......0,537
...............2148........2331......2302........173,7
63430+...1,705.......1,684.....0,574
...............2371........2573......2541........191,7
70016+...1,026.......1,042.....0,112
La première ligne correspond au saros, les deux solutions suivantes ramènent bien la lunaison et la Lune près de son noeud, mais décalent beaucoup plus la Lune par rapport à son périgée (14,8° pour la seconde et 11,9° pour la troisième). Elles sont donc moins stables que le saros. - On peut également chercher des solutions sous la forme x.L ~ 2.y.G/2 ~ z.A. Ces solutions font intervenir la demi-révolution draconitique, cela correspond donc à des récurrences avec alternance de noeud. Le tableau suivant donne une série de solutions.
jours..........x..............y...........z...........Durée (ans)
................135.........146,5.....145.........10,92
3986+.....0,629.......0,590....9,41
...............1074.......1165,5....1151........86,83
31715+...0,852.......0,842.....0,287
...............1297.......1407,5....1390........104,86
38300+...1,174.......1,199....0,824
La première solution que l'on appelle «saros chinois» car elle était connue des chinois, n'est pas très stable à cause de l'écart en anomalie. La seconde et la dernière solution sont meilleures car les écarts en anomalie sont beaucoup plus faibles.
Ainsi pour la seconde solution : 1047.L - 1165,5.G = 0,009 jour = 13 minutes et 1074.L - 1151.A = 0,56 jour, au bout d'un cycle, la Lune se retrouve à 7,4° en aval sur sa position orbitale.
Et pour la dernière solution : 1297.L - 1407,5.G = -0,027 jour = -39 minutes et 1297.L - 1390.A = 0,35 jour, au bout d'un cycle, la Lune se retrouve à 4,5° en aval sur sa position orbitale.
Ne pouvant plus interroger les Anciens (ils seraient morts à nos dernières informations), voici ce que nous pouvons supposer :
- Dans le cas d'un arrêt plus rapide des calculs, cela revient à trouver théoriquement une solution plus approximative. D'où une prédiction plus hasardeuse. Ce n'est pas le but recherché.
- Dans le cas inverse, on s'aperçoit que les périodes s'allongent très vite et ne sont pas toutes plus stables que le "saros". Ainsi dans les données publiées ci-dessus, seules les périodes de 86,83 et 104,86 ans sont à retenir. Des périodes qui par leur durée excèdent de beaucoup l'espérance de vie de ces chers Anciens (25 ans d'espérance de vie en Europe avant 1750 (source : "Naître ou ne pas être" de Jacques Henripin)). Ce qui devait les rendre peu intéressantes à leurs yeux.
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