Question d'origine :
Cher guichet,
J'ai un problème mathématique !
Je souhaite organiser un petit tournoi familial de jeu de quilles, avec les contraintes suivantes :
- Il y a 6 joueurs inscrits au tournoi, dans une poule unique
- Chacun des joueurs joue pour lui-même (pas d'équipe)
- Chaque partie du tournoi se joue à 3 joueurs
- Tous les joueurs doivent se rencontrer un nombre équivalent de fois.
Combien de manches dois-je organiser (et avec quelle combinaison) pour que tout cela soit possible ?
J'ai bien une idée pour les deux premières manches, mais ensuite je sèche !
Match 1 : Joueur 1 + Joueur 2 + Joueur 3
Match 2 : Joueur 4 + Joueur 5 + Joueur 6
Match 3 : ... ??
etc.
Merci pour votre aide !
Réponse du Guichet
gds_se
- Département : Équipe du Guichet du Savoir
Le 28/08/2014 à 13h40
Bonjour,
Tout d'abord, nous nous excusons pour le retard de notre réponse.
La question que vous nous posez demande de faire appel aux mathématiques combinatoires (un grand merci à nos collègues du département sciences et techniques pour leur aide).
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités.
(Source : Analyse combinatoire / Université Lyon 1)
En effet, pour trouver le nombre de match que vous devrez organiser, nous avons du calculer le nombre de combinaisons possibles de 3 joueurs dans un groupe de 6.
Une combinaison de p éléments parmi n est un choix sans ordre ni répétition de p éléments parmi n. Cela revient à prendre simultanément p jetons dans une urne qui en contient n.
(Source : Combinaison (en dénombrement) / Le Monde)
Voilà quelques explications sur les factorielles et les combinaisons dans lesquelles vous retrouverez les calculs à faire pour déterminer les combinaisons possibles de 3 dans 6.
Le calcul final dans votre cas est : (6*5*4) / (3*2*1) ce qui nous donne un résultat de 20 combinaisons différentes. Vous devrez donc organiser 20 matchs afin que chaque joueur rencontre les autres le même nombre de fois.
En ce qui concerne les différentes combinaisons (et donc les différents matchs), un générateur en ligne nous a permis de les relever :
• 1, 2, 3
• 1, 2, 4
• 1, 2, 5
• 1, 2, 6
• 1, 3, 4
• 1, 3, 5
• 1, 3, 6
• 1, 4, 5
• 1, 4, 6
• 1, 5, 6
• 2, 3, 4
• 2, 3, 5
• 2, 3, 6
• 2, 4, 5
• 2, 4, 6
• 2, 5, 6
• 3, 4, 5
• 3, 4, 6
• 3, 5, 6
• 4, 5, 6
A vous d'organiser les matchs à votre convenance !
Toutefois, le genre de tournoi que vous souhaitez organiser est un « tournoi à la ronde » ou « tournoi toutes rondes » ; tournoi dans lequel chaque équipe a la chance d’affronter toute autre équipe. L’équipe gagnante est celle qui a accumulé le plus de points ou obtenu le pourcentage le plus élevé de victoires à la fin de l’événement.
Nous vous proposons donc une autre formule pour organiser ce tournoi.
La formule pour déterminer le nombre de matchs est la suivante :
Nombre de parties = n * (n-1) / 2
où n est le nombre d’équipes dans le tournoi
n-1 parce qu’aucune équipe ne peut s’affronter elle – même
÷ 2 puisqu’il y a deux équipes dans chaque partie.
(Source : Organiser un tournoi / Alberta Education)
Dans le cas où on se trouve en présence de 6 joueurs, il faut organiser 15 matchs qui se déroulent selon la méthode suivante :
Ronde 1 : Joueur 1 – Joueur 6 / Joueur 2 – Joueur 5 / Joueur 3 – Joueur 4
Ronde 2 : Joueur 6 – Joueur 4 / Joueur 5 – Joueur 3 / Joueur 1 – Joueur 2
Ronde 3 : Joueur 2 – Joueur 6 / Joueur 3 – Joueur 1 / Joueur 4 – Joueur 5
Ronde 4 : Joueur 6 – Joueur 5 / Joueur 1 – Joueur 4 / Joueur 2 – Joueur 3
Ronde 5 : Joueur 3 – Joueur 6 / Joueur 4 – Joueur 2 / Joueur 5 – Joueur 1
(Source : Les tournois / iechecs)
Cette configuration est relativement simple à mettre en place.
Enfin, si vous souhaitez avoir plus de détails sur tous ces calculs mathématiques, nous vous conseillons de contacter la Fédération Française des Jeux Mathématiques
Bonne journée
Tout d'abord, nous nous excusons pour le retard de notre réponse.
La question que vous nous posez demande de faire appel aux mathématiques combinatoires (un grand merci à nos collègues du département sciences et techniques pour leur aide).
L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités.
(Source : Analyse combinatoire / Université Lyon 1)
En effet, pour trouver le nombre de match que vous devrez organiser, nous avons du calculer le nombre de combinaisons possibles de 3 joueurs dans un groupe de 6.
Une combinaison de p éléments parmi n est un choix sans ordre ni répétition de p éléments parmi n. Cela revient à prendre simultanément p jetons dans une urne qui en contient n.
(Source : Combinaison (en dénombrement) / Le Monde)
Voilà quelques explications sur les factorielles et les combinaisons dans lesquelles vous retrouverez les calculs à faire pour déterminer les combinaisons possibles de 3 dans 6.
Le calcul final dans votre cas est : (6*5*4) / (3*2*1) ce qui nous donne un résultat de 20 combinaisons différentes. Vous devrez donc organiser 20 matchs afin que chaque joueur rencontre les autres le même nombre de fois.
En ce qui concerne les différentes combinaisons (et donc les différents matchs), un générateur en ligne nous a permis de les relever :
• 1, 2, 3
• 1, 2, 4
• 1, 2, 5
• 1, 2, 6
• 1, 3, 4
• 1, 3, 5
• 1, 3, 6
• 1, 4, 5
• 1, 4, 6
• 1, 5, 6
• 2, 3, 4
• 2, 3, 5
• 2, 3, 6
• 2, 4, 5
• 2, 4, 6
• 2, 5, 6
• 3, 4, 5
• 3, 4, 6
• 3, 5, 6
• 4, 5, 6
A vous d'organiser les matchs à votre convenance !
Toutefois, le genre de tournoi que vous souhaitez organiser est un « tournoi à la ronde » ou « tournoi toutes rondes » ; tournoi dans lequel chaque équipe a la chance d’affronter toute autre équipe. L’équipe gagnante est celle qui a accumulé le plus de points ou obtenu le pourcentage le plus élevé de victoires à la fin de l’événement.
Nous vous proposons donc une autre formule pour organiser ce tournoi.
La formule pour déterminer le nombre de matchs est la suivante :
Nombre de parties = n * (n-1) / 2
où n est le nombre d’équipes dans le tournoi
n-1 parce qu’aucune équipe ne peut s’affronter elle – même
÷ 2 puisqu’il y a deux équipes dans chaque partie.
(Source : Organiser un tournoi / Alberta Education)
Dans le cas où on se trouve en présence de 6 joueurs, il faut organiser 15 matchs qui se déroulent selon la méthode suivante :
Ronde 1 : Joueur 1 – Joueur 6 / Joueur 2 – Joueur 5 / Joueur 3 – Joueur 4
Ronde 2 : Joueur 6 – Joueur 4 / Joueur 5 – Joueur 3 / Joueur 1 – Joueur 2
Ronde 3 : Joueur 2 – Joueur 6 / Joueur 3 – Joueur 1 / Joueur 4 – Joueur 5
Ronde 4 : Joueur 6 – Joueur 5 / Joueur 1 – Joueur 4 / Joueur 2 – Joueur 3
Ronde 5 : Joueur 3 – Joueur 6 / Joueur 4 – Joueur 2 / Joueur 5 – Joueur 1
(Source : Les tournois / iechecs)
Cette configuration est relativement simple à mettre en place.
Enfin, si vous souhaitez avoir plus de détails sur tous ces calculs mathématiques, nous vous conseillons de contacter la Fédération Française des Jeux Mathématiques
Bonne journée
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